Tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

Bạn đang xem: Tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng tại pgddttramtau.edu.vn

Tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

Chuyên đề về tam giác đồng dạng cũng như cách chứng minh hai tam giác đồng dạng học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 8, phân môn Hình học. Đây là phần tri thức vô cùng quan trọng của chương trình. Bài viết ngày hôm nay, THPT Lê Hồng Phong sẽ hệ thống lại tất cả những tri thức cần ghi nhớ về chuyên đề này. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1. khái niệm hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác đồng dạng là gì? “Đồng dạng” là từ Hán Việt và vốn tức là giống nhau. Hai tam giác đồng dạng với nhau khi chúng có những góc tương ứng bằng nhau và những cạnh tương ứng tỉ lệ.

Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ được gọi là đồng dạng với nhau nếu như: A^=A′^;B^=B′^;C^=C′^

và A′B′AB=B′C′BC=A′C′AC

Kí hiệu hai tam giác đồng dạng: △ABC∼△A′B′C′

Tỉ số:  A′B′AB=B′C′BC=A′C′AC=k được gọi là tỉ số đồng dạng.

2. những trường hợp đồng dạng của tam giác thường

  • Trường hợp 1: Ba cạnh tương ứng tỉ lệ nhau (c – c – c).

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

ABDE=ACDF=BCEF

Suy ra: △ABC∼△DEF (c – c – c)

  • Trường hợp 2: Hai cạnh tương ứng tỉ lệ nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau (c – g – c).

Xét hai tam giác ABC và DEF, ta có:

ABDE=ACDF

A^=D^

Suy ra: △ABC∼△DEF (c – g – c)

  • Trường hợp 3: Hai góc tương ứng bằng nhau (g – g)

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

A^=D^

B^=E^

Suy ra: △ABC∼△DEF (g – g)

tam giac dong dang 2

3. những định lý đồng dạng của tam giác vuông

  • Định lý 1: Cạnh huyền – Cạnh góc vuông

nếu như cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

  • Định lý 2: Hai cạnh góc vuông

nếu như hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

  • Định lý 3: Góc của hai tam giác vuông

nếu như góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

II. CÁCH CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức :

Bài toán: Cho △ABC(AB<AC), AD là đường phân giác trong. Miền ngoài △ vẽ tia Cx sao cho BCxˆ=BADˆ. Gọi I là giao điểm của Cx và AD. Chứng minh rằng:

  • a) △ADB∼△CDI
  • b) ADAC=ABAI
  • c) AD2 = AB.AC – BD.DC

Cách giải:

tam giac dong dang 3

a) Xét △ADB và  △CDI , ta có:

BCxˆ=BADˆ (gt)

D1ˆ=D2ˆ (đối đỉnh)

Suy ra:  △ADB∼△CDI

b) Xét △ABD và  △AIC , ta có :

Bˆ=Iˆ (△ADB∼△CDI)

A1ˆ=A2ˆ(AD là phân giác)

Suy ra △ABD∼△AIC

Suy ra ADAC=ABAI, suy ra AD.người nào = AB.AC (1)

c) Có ADCD=BDBI △ADB∼△CDI

Suy ra: AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

Suy ra: AB.AC – BD.CD = AD.người nào – AD.DI = AD(người nào – DI ) = AD.AD = AD2

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet và Hai đường thẳng song song

Bài toán:

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE. Kẻ những đường cao DF và EG của  tam giác ADE. Chứng minh:

  • a) △ADB∼△AEG
  • b) AD.AE = AB.AG = AC.AF
  • c) FG // BC

Cách giải:

tam giac dong dang 4

a) Xét tam giác ABD và AEG, ta có :

BD AC (BD là đường cao)

EG AC (EG là đường cao)

Suy ra: BD // EG

Suy ra:  △ADB∼△AEG

b) Từ a) Suy raABAE=ADAG

⇒ AD.AE = AB.AG (1)

CM tương tự, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) Xét tam giác ABC, ta có :

AB.AG = AC.AF (cmb) suy ra: ABAF=ACAG

Suy ra: FG // BC (định lí Talet đảo)

Dạng 3: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bài toán: Cho tam giác ABC có những đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

  • a) Tam giác HBE và tam giác HCE đồng dạng.
  • b)  △HED∼△HBC

và HDEˆ=HAEˆ

Cách giải:

tam giac dong dang 5

a) Xét tam giác HBE và tam giác HCD, ta có :

BEHˆ=CDHˆ=90∘ (gt)

H1ˆ=H2ˆ (đối đỉnh)

Suy ra:  △HBE∼△HCD (g – g)

b) Xét tam giác HED và HBC, ta có :

HEHD=HDHC (△HBE∼△HCD)

Suy ra: HEHD=HDHC

EHDˆ=CHBˆ(đối đỉnh)

Suy ra △HED∼△HBC(c – g – c)

Suy ra: D1ˆ=C1ˆ(1)

mà còn có: đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

III. BÀI TẬP CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1. Bài tập có lời giải:

Bài 1: Cho ∆ABC có những đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và quicklatex.com e57698dee24b5f1e0982bb0da769724a l3.svg

c) cho biết BD = CD. Gọi M là giao điểm của AH và BC. chứng minh : DE vuông góc EM.

Giải

chung minh hai tam giac dong dang lop 8 2232a) xét ∆HBE và ∆HCD, ta có :

quicklatex.com 84eeccc68de05182e561749be889f92b l3.svg (gt)

quicklatex.com f7ff93c058edaf4786464469d77b1a58 l3.svg (đối đỉnh)

=> ∆HBE ~ ∆HCD (g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, ta có :

quicklatex.com 1b7e76012d6d951da059aac4255d8d1b l3.svg (∆HBE ~ ∆HCD)

=> quicklatex.com 4990516c6d559db359f69f635abe5244 l3.svg

quicklatex.com 4c9c54b50d9b87ac89ba9f27e9e2959b l3.svg (đối đỉnh)

=> ∆HED ~ ∆HBC (c – g – c)

=> quicklatex.com d7ae502a06ee4e44bb77e4f4979cba5e l3.svg (1)

mà : Đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

=> H là trực tâm.

=> AH ⊥ BC tại M.

=> quicklatex.com cdbae22f7f8153c9eebd31cf6bcb34e0 l3.svg

mặt khác: quicklatex.com e54979b2f806103ed13213dea58012ac l3.svg

=> quicklatex.com bcb9031479a8fd7821bff9afd752416b l3.svg (2)

từ (1) và (2) : quicklatex.com 15be985e7dd2d1510b1505a1be70d437 l3.svg

hay: quicklatex.com e57698dee24b5f1e0982bb0da769724a l3.svg

c) cmtt câu b, ta được: quicklatex.com 062767665e54e141a9d275f37ddcda9b l3.svg (3)

xét ∆BCD, ta có :

DB = DC (gt)

=> ∆BCD cân tại D

=> quicklatex.com 9ca7d44a3c417ae0734ba09c8ca0aeb8 l3.svg

mà: quicklatex.com 1624b22374f15456dc61b4df2b2a786b l3.svg (∆HED ~ ∆HBC)

=> quicklatex.com fefb41800dcdc75a536f277161be4d69 l3.svg

mà: quicklatex.com 56eeb7aa1fb6280367b6275c1b003d18 l3.svg

quicklatex.com 062767665e54e141a9d275f37ddcda9b l3.svg (cmt)

=>quicklatex.com fa015c61cb3f6494164590dbf02ff4ab l3.svg

hay: quicklatex.com 652778164e1add7575cf22e0c3d67c53 l3.svg

=> ED ⊥ EM.

Bài 2: Cho ∆ABC (AB < AC), có AD là đường phân giác trong. Ở miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho quicklatex.com 32f31f972770743897c6b1ff131679e0 l3.svg . Gọi I là giao điểm của Cx và AD. cmr :

a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b) quicklatex.com 5efb81b0dd784dab2c01ce714c5fac9d l3.svg

c) AD2 = AB.AC – BD.DC

Giải

chung minh hai tam giac dong dang lop 8 2232 1a) ∆ADB và ∆CDI , ta có :quicklatex.com 32f31f972770743897c6b1ff131679e0 l3.svg (gt)

quicklatex.com 39f051cae5b9de76a616b17088f214bb l3.svg (đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) ∆ABD và ∆AIC , ta có :quicklatex.com de2e7bfda96da6c3182a443d07726403 l3.svg (∆ADB ~ ∆CDI)

quicklatex.com 29975066df520a234553ca7001f36dc4 l3.svg (AD là phân giác)

=> ∆ABD ~ ∆AIC

=> quicklatex.com 5efb81b0dd784dab2c01ce714c5fac9d l3.svg

c) => AD.người nào = AB.AC (1)

mà : quicklatex.com 11db18ebf229c87e2baeb703841791b3 l3.svg (∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :AB.AC – BD.CD = AD.người nào – AD.DI = AD(người nào – DI ) = AD.AD = AD2

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH . Chứng minh những hệ thức :

a. AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC

b. AB2 +AC2 = BC2

c. AH2 = BH.CH

d. AH.BC = AB.AC

Giải.

chung minh hai tam giac dong dang lop 8 2232 2Xét hai ∆ABC và ∆ HAC, ta có:

a. AC2 = CH.BC :

quicklatex.com 38318563b4d2ec0215bc3b24fff57f5b l3.svg

quicklatex.com de4d4b17e86c2cd4290f1012ec9729c1 l3.svg là góc chung.

=> ∆ABC ~ ∆HAC (g – g)

=> quicklatex.com a5cd296694af6f00159296a60566a68d l3.svg

=> AC2 = CH.BC (1)

Cmtt : AB2 = BH.BC (2)

b. AB2 +AC2 = BC2

Từ (1) và (2), ta có :

AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC2

c. AH2 = BH.CH :

Xét hai ∆HBA và ∆ HAC, ta có :

quicklatex.com 2ced8473ac8cac24b9be0ca086367b31 l3.svg

quicklatex.com 7d630dc7c200b8e19fb763b8f68d22b4 l3.svg cùng phụ quicklatex.com ffb7ada1c649270d199908de8c4f355a l3.svg

=> ∆HBA ~ ∆HAC (g – g)

=> quicklatex.com 0691c3ce6c9ddfc77f37bd6b0df11ee7 l3.svg

=> AH2 = BH.CH

d. AH.BC = AB.AC :

Ta có : quicklatex.com d79bd6534f7c6d324a8b70226b73bebf l3.svg (∆ABC ~ ∆HAC)=> AH.BC = AB.AC.

Bài 4: Cho ∆ABC nhọn. kẻ đường cao BD và CE. vẽ những đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh

a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

Giải

chung minh hai tam giac dong dang lop 8 2232 3a) xét ∆ABD và ∆AEG, ta có :BD ⊥ AC (BD là đường cao)

EG ⊥ AC (EG là đường cao)

=> BD // EG

=> ∆ABD ~ ∆AGE

b) => quicklatex.com b12bea03ad26281fc5a2318a2755e795 l3.svg

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy ra :AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, ta có :AB.AG = AC.AF (cmt)

quicklatex.com 175d08f0d7bf594ede2980d00b6fbdad l3.svg

=> FG // BC (định lí đảo talet)

do vậy H là trực tâm, suy ra AH⊥BC tại M.

Suy raA1ˆ+ABCˆ=90∘

Mặt khác : C1ˆ+ABCˆ=90∘

Suy ra: A1ˆ=C1ˆ (2)

Từ (1) và (2) =>  A1ˆ=D1ˆ

hay: HDEˆ=HAEˆ

2. Bài tập tự luyện thêm

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Chứng minh:

a/ AH.BC = AB.AC

b/ AB² = BH.BC

c/ AH² = BH.CH

d/ Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của AH. Chứng minh: CN AM.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn BH = 9cm và HC = 16cm. Tính AB, AC, BC.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 21cm; AC = 28cm.

a/ Tính AH

b/ Kẻ HD AB; HE AC. Tính diện tích tam giác AED.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15cm, AC = 20cm. Kẻ đường cao AH, trung tuyến AM.

a/ Tính AH; BC.                             b/ Tính BH,CH.               c/ Tính diện tích tam giác AHM.

Bài 5: Cho có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ HD vuông góc AB tại D, HE vuông góc AC tại E.

a) Chứng minh: tam giác AHB đồng dạng với tam giác ADH và tam giác AHC đồng dạng với tam giác AEH.

b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC.

c) Cho AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Tính độ dài đường phân giác AK của (K thuộc BC)

Bài 6: Cho ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Đường phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E và BA tại K.

a/ Chứng minh ABC vuông

b/ Tính DB, DC

c/ Chứng minh tam giác EDC đồng dạng với tam giác BDK

d/ Chứng minh DE = DB

Bài 7: Cho ABC vuông tại A, cho biết AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đường cao AH của ABC.

a) Chứng minh: tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB và suy ra AB² = BH.BC

b) Tính độ dài những đoạn thẳng BH và CH.

c) Kẻ HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC. Chứng minh: AM.AB = AN.AC

d)Chứng minh: tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác của góc A cắt cạnh huyền BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại E.

a) Chứng minh tam giác DEC đồng dạng với tam giác ABC.

b) Chứng minh: DB = DE.

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 16cm, BC = 20cm. Kẻ đường phân giác BD (D thuộc AC)

a) Tính CD và AD

b) Từ C kẻ CH vuông góc với BD tại H. Chứng minh: Tam giác ABD đồng dạng với tam giác HCD

c) Tính diện tích tam giác HCD .

Trên đây, THPT Lê Hồng Phong.vn đã giới thiệu tới quý thầy cô và những bạn tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng nhanh nhất. hy vọng, bài viết đã phân phối cho bạn những thông tin hữu ích. Xem thêm cách chứng minh hình thang tại đường link này nhé !

Bản quyền bài viết thuộc THPT Lê Hồng Phong. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: https://pgddttramtau.edu.vn

Tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

Bạn thấy bài viết Tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng bên dưới để pgddttramtau.edu.vn có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: pgddttramtau.edu.vn của PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN TRẠM TẤU

Nhớ để nguồn bài viết này: Tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng của website pgddttramtau.edu.vn

Chuyên mục: Văn học

Xem thêm bài viết hay:  Bộ đề thi giữa học kì 2 môn sinh vật học lớp 11 năm 2021 – 2022

Viết một bình luận